一、数学悖论
1、小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”
2、有人会讲，芝诺悖论和量子力学的关系啊，芝诺悖论和时空是否可以无限细分的关系啊。简单地反驳，如果追不上乌龟的大兄弟和飞不动的箭都存在于一个空间可以无限细分的理想空间里呢？
3、本文只想谈点轻松的话题。其实，许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅可以令你大开眼界，还可以从中享受到无尽的乐趣。面对形形色色富于思考性、趣味性、迷惑性的问题，你必须作一点智力准备，否则可能就会在这悖论迷宫中转不出来了。看看下面的几个小故事，你就会相信此话不假。
4、试试背圆周率，听听弹奏圆周率
5、不是所有……把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}(￠)问,Q∈P还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A￠A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾。若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=Φ,所以Q￠Q,还是矛盾。符合以上条件的悖论都可以称之为“罗素悖论”,但还有不是以上形式的……比如“双生子悖论”。
6、世界上有记载的最早的悖论，是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的著名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子?天下篇》中，也记载了几条著名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼最大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论著作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。
7、数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，除前面提到的伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。
8、现在的问题是你会怎么办？
9、实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。
10、“二分法”。运动着的物体在到达目的地之前必须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还必须完成全部行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，也因此而永远也不能抵达目的地。
11、如何解释圣彼得堡悖论？知乎网
12、第一个故事发生在一位调查员身上。这位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅《中学生数学》的情况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果。于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校的调查数据看，中学生中男生订阅《中学生数学》的比例比女生大。后来，他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅《中学生数学》的所有学生中，女生的比例比男生要大些，怎么会是这样呢?这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变少了。你能帮他找找原因吗?
13、你能说出为什么这场考试无法进行吗？
14、脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。
15、悖论的抽象公式就是如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
16、如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
17、“我说的这句话是假的”。这个语句是真的还是假的？
18、罗素悖论，号称数学大厦的裂缝。现在都没解决，只是绕开了。其他的什么白马黑马悖论，理发师悖论，其实都是罗素悖论的另一种说法而已。
19、悖论读音为bèilùn，是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
20、概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件(materialconditional)，对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。
二、数学悖论问题
1、这句话的意思是说：如果说谎人说这句话，则表明他说的是真话；但如果承认他说的是真话，又与此人是“说谎人”相矛盾，于是或真或假，难以断定。
2、这类本质型悖论是难以解决的。其解决难度远远超过了谬误型悖论和挑战常识型悖论。
3、15陈皓然老师将为你支招
4、在某个城市中有一位理发师，他的广告词:"本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!"来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于"不给自己刮脸的人"，他就要给自己刮脸;而如果他给自己刮脸呢?他又属于"给自己刮脸的人"，他就不该给自己刮脸。
5、克服分心与压力，才能获得长时间的平静与专注；改掉不健康的焦虑习惯，才能真正使内心强大。
6、这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？
7、悖论/数学悖论.搜狗百科
8、三门问题及其相关问题(概率)
9、一位美国数学家来到一个赌场，随便叫住两个赌客，要教给他们一种既简单又挣钱的赌法。方法是，两个人把身上的钱都掏出采，数一数，谁的钱少就可以赢得钱多的人的全部钱。赌徒甲想，如果我身上的钱比对方多，我就会输掉这些钱，但是，如果对方的钱比我多，我就会赢得多于我带的钱数的钱，所以我赢的肯定要比输的多。而我俩带的钱谁多谁少是随机的，可能性是一半对一半，因此这种赌法对我有利，值得一试。赌徒乙的想法与甲不谋而合。于是两个人都愉快地接受了这位数学家的建议。看来这真是一种生财有道的赌博。
10、概率论与数理统计(浙大版)
11、这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？
12、你不能解决的七个很有意思的悖论.百度文库
13、现在，将(1)式两边乘以我们就得到：
14、说谎者悖论──“我正在说的这句话是谎话！”
15、芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”
16、生日悖论(BirthdayParadox)是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于509^计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
17、一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”
18、如果不考虑收敛级数的概念，我们就会陷入以下困境。
19、例如：公理化集合论的建立，成功解决了罗素悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
20、在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施(约370B.C.—318B.C.)的“日方中方睨，物方生方死”、《庄子·天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。
三、数学悖论追乌龟
1、概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？
2、17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利(EvangelistaTorricelli)将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形(注：上图只显示了一部分图形)。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是π。
3、我们欠孩子真正的数学阅读(附推荐目录)
4、乙同学同样遭遇尴尬。如果回答“是”，也“不”矛盾；如果回答“不”，双重否定表示肯定，应该是“是”，还是与“不”矛盾。
5、其实谬误型悖论在某种程度上说是出现了错误。
6、要“朗读”，不要“唱读”
7、数学大家谈栏目丨专访数学研究专家沈明哲！
8、关于“数学悖论”的故事还有很多。公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在困扰着数学家和逻辑学家，这就是著名的“说谎者悖论”。
9、除此之外，古今中外还有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考。解决悖论难题需要创造性的思维，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
10、悖论的数学公式：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
11、哪里可能出错了呢？再一次，当我们违反一条数学规则时，就出现了一个“谬误”这里我们定义a和b中至少有一个是非负数时，才成立。这就意味着按照进行计算的人错了。
12、真实性悖论是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。
13、理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。
14、谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
15、高等数学(同济版上下册)课件
16、有利于帮助学生洞察数学问题的解题过程，培养学生独立思考的能力。
17、伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以2都能得到一个偶数，而每一个偶数除以2都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。
18、古希腊数学家芝诺提出关于运动的不可分性的哲学悖论被称为芝诺悖论，有个著名的例子。在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
19、冯·诺依曼解火车苍蝇题.彭翁成.个人博客.科学网.
20、在女儿高一家长会上的发言
四、数学悖论
1、不管上帝怎么笑，我们还要一如既往地思考
2、你所有的感受都是有道理的。——《原生家庭——如何修补自己的性格缺陷》
3、“说谎者悖论”有多种变化形式，下面的几个类似的悖论请同学们一起来试着理解：
4、缪不可言推荐的10本育儿书/图文
5、数学悖论：说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等；科学悖论：阿基里斯悖论、二分法悖论、
6、19：00—21：00
7、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
8、既然是离散数学的悖论，那就按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0
9、讲座专为你而来你说你来不来
10、把(2)式带入(3)式，就有，从而。
11、数学悖论：http://baike.baidu.com/view/293html?wtp=tt
12、像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。
13、如何组织学生“课堂讨论”——“尝试反馈法”课改之教学反思|重点看文末
14、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
15、无限长的金属杆：理想模型带来的悖论.matrixC博客
16、考虑的商，其中。在不承认那条除以0的戒律的情况下，让我们推测(猜想)这个商可能等于什么。让我们假设它为p，可以通过乘法看它是否等于n来检验，因为这就是除法运算正确时应该得到的结果。因为，我们知道。因此，不管商p取什么值都不能使这道除法成立，所以我们规定禁止除以0。
17、脑洞：理科生们笑到内伤。
18、阿溪里斯是古希腊传说中善走的神，现在让他和乌龟赛跑。假定他的速度为乌龟的10倍。乌龟先出发，走了公里。阿溪里斯开始追赶它，当阿溪里斯走完这公里时，乌龟又向前走了公里；阿溪里斯再走完这公里时，乌龟又向前走了公里……阿溪里斯的速度再快，走过一段路总得花一段时间，乌龟速度再慢，在这一段时间里也总要再向前走一段路程。这样说来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。同学们，你认为这种说法正确吗？你能说出其中的理由吗？
19、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。都会一门数学分支出现，所以在中学教育适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。可以讲讲根号2悖论，理发师悖论，无穷悖论。这些悖论学生基本上可以理解。这样可以活跃课堂教学效果
20、在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。
五、数学悖论论文
1、于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯(NathanielJohnston)把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是1162013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。
2、公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
3、特别策划丨“数学大家谈栏目”专访奥数教练李唯瑒(下)
4、我教霍尔果斯市莫乎尔的孩子们“学好数学三句话”(有视频)
5、我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？
6、最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
7、“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。
8、上面说的都是什么鬼？？
9、这句话，乙同学能回答出来吗？
10、古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。
11、价值悖论又叫钻石与水悖论，由亚当•斯密在他的著作《国富论》中第一次提出。钻石对于人类维持生命没有任何实质性价值,但是钻石的市场价值非常高。而水是人类维持生命的必需品，但水的市场价值与钻石相比却非常低。这种强烈的反差就构成了价值悖论。
12、提示：点击上方"52数学网"↑快速关注！
13、实质条件的示意图如下：
14、概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？
15、谬误悖论指其推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误。
16、那么上面这句话是真话还是谎话？如果是真话，那么它应该是谎话；如果是谎话，那么它应该是真话！如论我们如何进行判断，最终终会终于谬误。
17、答案千奇百怪。最直接的是无限个，也有数学家认为，每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯·亨勒(JamesM.Henle)和托马斯·泰马祖科(ThomasTymoczko)提出花瓶里的球最终可以是任意数目，甚至有具体的构造方法。
18、兔子和乌龟赛跑，兔子的速度是乌龟的2倍。先乌龟走10米，兔子开始走，兔子走完10米时，乌龟又走了5米，兔子走完5米时，乌龟又走了5米。。。这样，兔子永远也追不上乌龟。这就是悖论。
19、在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。
20、基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯(ThomasHobbes)、约翰·洛克(JohnLocke)也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。
